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  Aktuelle Forschung :: August 2009 Zur Übersicht

Mathematik digitaler Sinne: Informationsfeldtheorie zur Signalerkennung

Die korrekte Wahrnehmung von Signalen durch Sinnesorgane und Sensoren ist nicht nur ein essentielles Problem lebender Organismen, sondern auch von grundlegender technischer und wissenschaftlicher Relevanz. Forscher am Max-Planck-Institut für Astrophysik haben gezeigt, dass sich mathematische Methoden der Teilchenphysik zur Konstruktion bildgebender Verfahren einsetzen lassen. Diese liefern selbst für unvollständige, fehlerbehaftete und verzerrte Sensordaten optimale Resultate. Die dafür entwickelte Informationsfeldtheorie liefert Algorithmen, d.h. Berechnungsvorschriften für diffizile Wahrnehmungsprobleme in Technik und Wissenschaft, zum Beispiel für die Kosmologie.

Abb. 1: Die Feynman-Diagramme bestehen aus Punkten und Linien. Punkte am Ende von Linien bezeichnen so genannte Informationsquellen, also die Information die die Messdaten über einen Punkt im Raum enthalten (siehe Diagramm (a)). In Linien eingebettete Punkte bezeichnen dagegen Datenverarbeitungsschritte die verschiedene Informationen kombinieren (siehe Diagramm (b)). Die Linien beschreiben Informationspropagation: Was sagt mir eine Informationsquelle am Ort B über mein Signal am Orte A aus? Jedes der möglichen Diagramme beschreibt eine Rechenvorschrift, einen Algorithmus, der auf die Daten angewendet werden muss. Die Summe der Ergebnisse der einzelnen Diagramme liefert dann die gewünschte Antwort, beispielsweise das mittlere Signal gegeben Daten und Vorwissen.

Abb. 2: Diagramme zur Bestimmung der durch die Inflation verursachten Abweichung der CMB Temperaturfluktuationen von einer Normalstatistik. Die Temperaturwerte des CMB-Himmels (hier farbkodiert) müssen die gezeigten Diagramme durchlaufen. In die Endpunkte der Diagramme müssen die Temperaturwerte jeden Himmelspunktes eingehen, die dann gemäß der vom Diagramm vorgegebenen Rechenvorschrift verarbeitet werden. Die angegebene Kombinationen der Diagramme liefern dann ein Maß der statistischen Abweichung und somit eine Messung einer wichtigen Signatur der Inflation. Der Zähler dieser Formel, bestehend aus vier Diagrammen, ist bereits in nicht-diagrammatischer Form in der Fachliteratur bekannt. Der Nenner jedoch, der auch die Messunsicherheit der Methode kodiert, ist nur in einer wesentlich gröberen Form zuvor bekannt gewesen.

Die menschlichen Sinne wie Hören, Sehen und Fühlen erlauben es unserem Gehirn, ein detailliertes Modell unserer Umgebung zu kreieren, obwohl die menschlichen Sinne keineswegs perfekt sind und unser Gesichtsfeld oft eingeschränkt ist. Dieses Kunststück vollbringt unser Gehirn durch das Hinzuziehen von Erfahrungswerten über die Beschaffenheit unserer Umwelt.

Auch künstliche Sinne, seien es Kameras, Mikrophone oder astronomische Teleskope, sind keineswegs perfekt und erfordern daher komplexe Interpretationen und Benutzung von Zusatzwissen. Kosmologen beispielsweise möchten die Verteilung der Materie im Universum genau vermessen, haben aber das Problem, dass 85 Prozent der Materie unsichtbar sind. Vom Rest sind allenfalls sporadisch Galaxien sichtbar, die nur zu oft den Teleskopen entgehen. Daher bieten die Galaxiendaten nur ein unvollständiges und verrauschtes Abbild der kosmischen Materieverteilung. Die Materieverteilung stellt in diesem Fall das Signal dar, welches aus den Daten herausgelesen werden soll.

Da es eine Unzahl möglicher Materieverteilungen gibt, stellt sich die Frage, welche davon das richtige Signal ist. Leider hätten unendlich viele verschiedene Signale exakt die gleichen Daten erzeugen können. Allerdings sind nicht alle Möglichkeiten gleich plausibel. So ist es beispielsweise wenig wahrscheinlich, dass die kosmische Materieverteilung in dem durch unsere Galaxie verdeckten Bereich vollkommen anders aussieht als im übrigem Bereich, nur weil wir diesen zufälligerweise nicht gut beobachten können. Auch von einem nur teilweise sichtbaren Menschen würden wir kaum annehmen, dass er drei Beine hat, nur weil wir diese gerade nicht sehen können. Exotischen Signalkonfigurationen kann also von vornherein eine geringe Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden.

Damit können Fragen gestellt werden wie: Welches Signal ist gemessen an Daten und Vorwissen am plausibelsten? Wie groß ist die Unsicherheit dieser Schätzung des Signals?

Die Forscher am Max-Planck-Institut für Astrophysik konnten zeigen, dass solche Fragestellungen sich als statistische Feldtheorie, genauer gesagt als Informationsfeldtheorie, formulieren lassen. Diese ist zwar sehr komplex, aber dank der Teilchenphysik existieren mächtige mathematische Werkzeuge zu ihrer Berechnung. So kann man ihnen beispielsweise mit so genannten Feynman-Diagrammen approximative Lösungen abringen (siehe Abbildung 1). Die Diagramme sind dabei graphische Darstellungen der Datenverabeitungsschritte.

Nicht alle der resultierenden Algorithmen sind vollkommen neu. So entspricht das einfachste der Diagramme (Abbildung 1a) dem seit 60 Jahren erfolgreich eingesetzten Wiener Filter. Komplexere Diagramme (Abbildung 1b&c) lassen sich aus den einzelnen Rechenschritten des Wiener Filters aufbauen und erlauben auch Signalerkennungsprobleme zu lösen, die mit dem Wiener-Filter alleine nicht optimal behandelbar wären. Die Informationsfeldtheorie liefert hier maßgeschneiderte Algorithmen für die jeweiligen Signalerkennungsprobleme.

Erste Anwendungen dieser neuen Methodik werden in der Kosmologie liegen. So wurden bereits optimale Methoden zur kosmischen Kartographie mittels Galaxienvermessungen entwickelt, die die bisherigen linearen Analysemethoden verbessern sollten (siehe linkPfeil.gifAktuelle Forschung, Oktober 2008).

Auch über das frühe Universum kurz nach dem Urknall lassen sich mittels Informationsfeldtheorie genauere Erkenntnisse gewinnen. Das früheste Abbild des Universums wird uns durch die Reststrahlung des Urknalls, den kosmischen Mikrowellenhintergrund (engl. cosmic microwave background, CMB) vermittelt. Dieser gibt ein Abbild des heißen Gases, dass das Universum 380.000 Jahre nach dem Urknall erfüllt hat und enthält Informationen aus den allerersten Sekundenbruchteilen unseres Universum, als während einer so genannten Inflationsepoche der Raum praktisch explodierte.

Der CMB kann von Satelliten wie dem kürzlich gestarteten Planck Surveyor (linkPfeilExtern.gifPlanck-Nachrichten), aufgenommen werden. Aber Planck wird auch viele Störsignale auffangen, die eine direkte Interpretation seiner Daten kompliziert macht. Zum Beispiel blockt Strahlung unserer eigenen Galaxie einen Teil des CMB-Himmels ab und die Sensoren des Satelliten erzeugen ein ungewolltes Rauschen in den Daten. Um trotz dieser Störsignale die subtilen Signaturen der Inflation aus den Temperaturschwankungen detektieren zu können, wurden mittels der Informationsfeldtheorie verbesserte Analysemethoden entwickelt (Abbildung 2).

Die Anwendung der Informationsfeldtheorie ist keineswegs auf die Kosmologie beschränkt. Bildgebende Verfahren in Medizin, Geologie und Materialwissenschaften können möglicherweise von der Theorie profitieren. Sollte es soweit kommen, würde ein weiteres Beispiel für einen unerwarteten Spin-off von Grundlagenforschung geschaffen: Methoden der mathematischen Physik, die zur Berechnung von sehr abstrakten teilchenphysikalischen Vorgängen entwickelt wurden, fänden in Form von Software Einzug in Arztpraxen und Ingenieurbüros.


Torsten Enßlin, Mona Frommert


Publication

Torsten A. Enßlin, Mona Frommert, Francisco S. Kitaura, "Information field theory for cosmological perturbation reconstruction and non-linear signal analysis", 2008, submitted linkPfeilExtern.gifarXiv:0806.3474



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Letzte Änderung: 23.7.2009